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如图△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形,平面MCD⊥平面BCD,AB⊥平面BCD,AB=2
3

(1)求点A到平面MBC的距离;
(2)求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值.
(1)取CD的中点,连接OB,OM,则OB⊥CD,OM⊥CD,
又平面MCD⊥平面BCD,
则MO⊥平面BCD,
∴MOAB,A,B,O,M共面,
延长AM,BO相交于E,则∠AEB就是AM与平面BCD所成的角,
OB=MO=
3

MOAB,MO面ABC,
M,O到平面 ABC的距离相等,作OH⊥BC于H,
连接MH,则MH⊥BC,
∴OH=OC•sin60°=
3
2
,MH=
15
2

∵VA-MBC=VM-ABC
∴d=
2
15
5

(2)CE是平面ACM与平面BCD的交线,
由(1)知,O是BE的中点,则BCED是菱形,
作BF⊥EC于F,连接AF,∠AFB是二面角A-EC-B的平面角,设为θ,
∵∠BCE=120°,∴∠BCF=60°,
BF=BC•sin60°=
3

tanθ=
AB
BF
=2
,sinθ=
2
5
5

所以平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值为
2
5
5

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,边长为2的正方形A1ACC1绕直线CC1旋转90°得到正方形B1BCC1,D为CC1的中点,E为A1B的中点,G为△ADB的重心.
(1)求直线EG与直线BD所成的角;
(2)求直线A1B与平面ADB所成的角的正弦值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PA⊥底面ABCD,PA=AD=2,点M、N分别在棱PD、PC的中点.
(1)求证:PD⊥平面AMN;
(2)求三棱锥P-AMN的体积;
(3)求二面角P-AN-M的大小.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

如图,ABCD-A1B1C1D1为正方体,下面结论中正确的是______.(把你认为正确的结论都填上)
①BD平面CB1D1
②AC1⊥平面CB1D1
③AC1与底面ABCD所成角的正切值是
2

④二面角C-B1D1-C1的正切值是
2

⑤过点A1与异面直线AD与CB1成70°角的直线有2条.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,在三棱锥P-ABC中,PB⊥面ABC,∠ABC=90°,AB=BC=2,∠PAB=45°,点D,E,F分别是AC,AB,BC的中点.
(1)求证:EF⊥PD;
(2)求直线PF与平面PBD所成的角的大小;
(3)求二面角E-PF-B的大小.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

一个四棱锥的三视图如图所示.

(1)求这个四棱锥的全面积及体积;
(2)求证:PA⊥BD;
(3)在线段PD上是否存在一点Q,使二面角Q-AC-D的平面角为30°?若存在,求
|DQ|
|DP|
的值;若不存在,说明理由.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

正四棱锥相邻二侧面形成的二面角为θ,则θ的取值范围是(  )
A.(0,
π
2
B.(
π
3
π
2
C.(
π
4
π
3
D.(
π
2
,π)

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

正三棱锥底面边长为a,侧棱与底面成角为60°,过底面一边作一截面使其与底面成30°的二面角,则此截面的面积为(  )
A.
3
4
a2
B.
3
3
a2
C.
1
3
a2
D.
3
8
a2

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

已知
u
=(-2,2,5)
v
=(6,-4,4)
u
v
分别是平面α,β的法向量,则平面α,β的位置关系式(  )
A.平行B.垂直
C.所成的二面角为锐角D.所成的二面角为钝角

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