Question

10．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C，则二面角A-CD-B的余弦值为（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 取BD中点O，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-CD-B的余弦值．

解答 解：设正方形ABCD的边长为$\sqrt{2}$，取BD中点O，
以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，
则C（1，0，0），D（0，1，0），A（0，0，1），
$\overrightarrow{AC}$=（1，0，-1），$\overrightarrow{AD}$=（0，1，-1），
设平面ACD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=x-z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=y-z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，1），
平面CBD的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
设二面角A-CD-B的平面角为θ，
cosθ=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}|•\overrightarrow{|m}|}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴二面角A-CD-B的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故选：D．

点评 本题考查二面角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．