Question

已知P_n是把P_n-1P_n+1线段作n等分的分点中最靠近P_n+1的点，设线段P₁P₂，P₂P₃，…，P_nP_n+1，的长度分别为
a₁，a₂，a₃，…，a_n，其中a₁=1．
（1）写出a₂，a₃和a_n的表达式；
（2）证明a₁+a₂+a₃+…+a_n＜3；
（3）设点M_n（n，a_n），在这些点中是否存在两个点同时在函数y=

k

(x-1)2

(k＞0）的图象上，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由于P_n是把P_n-1P_n+1线段作n等分的分点中最靠近P_n+1的点，所以知P_n-1P_n=（n-1）P_nP_n-1，从而可得

an

an-1

=

1

n-1

，进而利用叠乘即可求出a₂，a₃和a_n的表达式；
 （2）对通项进行放缩，再求和，利用等比数列的求和公式即可证明；
（3）假设存在，即可得

(p-1)2

(p-1)!

=

(q-1)2

(q-1)!

，再证明数列bn=

n2

n!

的单调减即可．

解答：解：（1）由已知P_n-1P_n=（n-1）P_nP_n-1
令n=2，P₁P₂=P₂P₃，∴a₂=1，同理a3=

1

2

，

an

an-1

=

1

n-1

∴an=

1

n-1

an-1=

1

n-1

•

1

n-2

•an-2=…=

1

(n-1)!

（2）∵

1

(n-1)!

=

1

1×2×…×n

≤

1

2n-2

∴a₁+a₂+a₃+…+a_n≤1+1+

1

2

+…

1

2n-2

=3-(

1

2

)n-2＜3
而n=1时，结论成立，故a₁+a₂+a₃+…+a_n＜3；
（3）假设有两个点A（p，a_p），B（q，a_q），都在函数y=

k

(x-1)2

上，即ap=

k

(p-1)2

，aq=

k

(q-1)2

所以

(p-1)2

(p-1)!

=k，

(q-1)2

(q-1)!

=k，消去k得

(p-1)2

(p-1)!

=

(q-1)2

(q-1)!

 ①，以下考查数列bn=

n2

n!

的增减情况，
bn-bn-1=

n2

n!

-

(n-1)2

(n-1)!

=-

n2-3n+1

(n-1)!

，
当n＞2时，n²-3n+1＞0，所以对于数列{b_n}为递减数列
∴不可能存在p，q使得①式成立，因而不存在．

点评：本题以线段为载体，考查数列的通项，考查放缩法的运用，考查函数的单调性，综合性强．