Question

已知P_n是把P_n-1P_n+1线段作n等分的分点中最靠近P_n+1的点，设线段P₁P₂，P₂P₃，…，P_nP_n+1，的长度分别为
a₁，a₂，a₃，…，a_n，其中a₁=1．
（1）写出a₂，a₃和a_n的表达式；
（2）证明a₁+a₂+a₃+…+a_n＜3；
（3）设点M_n（n，a_n），在这些点中是否存在两个点同时在函数）的图象上，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于P_n是把P_n-1P_n+1线段作n等分的分点中最靠近P_n+1的点，所以知P_n-1P_n=（n-1）P_nP_n-1，从而可得，进而利用叠乘即可求出a₂，a₃和a_n的表达式；
 （2）对通项进行放缩，再求和，利用等比数列的求和公式即可证明；
（3）假设存在，即可得，再证明数列的单调减即可．
解答：解：（1）由已知P_n-1P_n=（n-1）P_nP_n-1
令n=2，P₁P₂=P₂P₃，∴a₂=1，同理
∴
（2）∵
∴a₁+a₂+a₃+…+a_n
而n=1时，结论成立，故a₁+a₂+a₃+…+a_n＜3；
（3）假设有两个点A（p，a_p），B（q，a_q），都在函数上，即，
所以，，消去k得 ①，以下考查数列的增减情况，
，
当n＞2时，n²-3n+1＞0，所以对于数列{b_n}为递减数列
∴不可能存在p，q使得①式成立，因而不存在．
点评：本题以线段为载体，考查数列的通项，考查放缩法的运用，考查函数的单调性，综合性强．