Question

16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a²+11b²=2$\sqrt{3}$ab，且sinC=2$\sqrt{3}$sinB．
（1）求角B的大小；
（2）若$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=tanB，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理余弦定理即可得出．
（2）利用数量积运算性质、三角形面积计算公式即可得出．

解答 解：（1）∵sinC=2$\sqrt{3}$sinB，由正弦定理得c=2$\sqrt{3}$b，
由余弦定理得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{12{b}^{2}+{a}^{2}-{b}^{2}}{2×2\sqrt{3}b}$=$\frac{11{b}^{2}+{a}^{2}}{4\sqrt{3}ab}$，
又∵a²+11b²=2$\sqrt{3}$ab，∴cosB=$\frac{1}{2}$，∴B=$\frac{π}{3}$．
（2）∵$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=tanB，∴ca•cosB=tanB，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$sinB×$\frac{sinB}{co{s}^{2}B}$=$\frac{1}{2}ta{n}^{2}B$=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、数量积运算性质、三角形面积计算公式质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．