Question

11．在直角坐标系xOy中，直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=-\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t为参数），曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=1+sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的方程为ρ=-2cosθ+2$\sqrt{3}$sinθ．
（1）分别求曲线C₁的极坐标方程和曲线C₂的直角坐标方程；
（2）设直线l交曲线C₁于O、A两点，直线l交曲线C₂于O、B两点，求|AB|的长．

Answer 1

分析 （1）曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=1+sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），利用平方关系化为普通方程：x²+（y-1）²=1，展开代入互化公式可得极坐标方程．曲线C₂的方程为ρ=-2cosθ+2$\sqrt{3}$sinθ，即ρ²=ρ（-2cosθ+2$\sqrt{3}$sinθ），利用互化公式可得直角坐标方程．
（2）直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=-\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t为参数），可得普通方程：y=-$\sqrt{3}$x，可得极坐标方程：θ=$\frac{2π}{3}$（ρ∈R）．分别代入极坐标方程即可得出，|AB|=|OB|-|OA|．

解答 解：（1）曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=1+sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），化为普通方程：x²+（y-1）²=1，展开可得：x²+y²-2y=0，可得极坐标方程：ρ²-2ρsinθ=0，即ρ=2sinθ．
曲线C₂的方程为ρ=-2cosθ+2$\sqrt{3}$sinθ，即ρ²=ρ（-2cosθ+2$\sqrt{3}$sinθ），化为直角坐标方程：x²+y²=-2x+2$\sqrt{3}$y．
（2）直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=-\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t为参数），可得普通方程：y=-$\sqrt{3}$x，可得极坐标方程：θ=$\frac{2π}{3}$（ρ∈R）．
∴|OA|=2sin$\frac{2π}{3}$=$\sqrt{3}$，|OB|=-2cos$\frac{2π}{3}$+2$\sqrt{3}$sin$\frac{2π}{3}$=$-2×（-\frac{1}{2}）$+$2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=4，
∴|AB|=|OB|-|OA|=4-$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程及其应用、直角坐标方程化为极坐标方程、三角函数的基本关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．