Question

2．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），F₁，F₂为左、右焦点，A₁，A₂，B₁，B₂分别是其左、右、下、上顶点，直线B₁F₂交直线B₂A₂于P点，若P点在以B₁A₂为直径的圆周上，则椭圆离心率是$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

Answer 1

分析 由题意可知：$\overrightarrow{{B}_{2}{A}_{2}}$=（a，-b），$\overrightarrow{{F}_{2}{B}_{1}}$=（-c，-b），由由P点在以B₁A₂为直径的圆周上，则∠B₁PA₂=90°，则$\overrightarrow{{B}_{2}{A}_{2}}$•$\overrightarrow{{F}_{2}{B}_{1}}$=0，根据向量数量积的坐标表示，求得-ac+b²=0，由椭圆的性质可知：b²=a²-c²，整理得：e²+e-1=0，根据椭圆的离心率的取值范围，即可求得离心率e的值．

解答 解：根据题意：椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a，b，c，
则$\overrightarrow{{B}_{2}{A}_{2}}$=（a，-b），$\overrightarrow{{F}_{2}{B}_{1}}$=（-c，-b），
由P点在以B₁A₂为直径的圆周上，
∴∠B₁PA₂=90°，
∴$\overrightarrow{{B}_{2}{A}_{2}}$•$\overrightarrow{{F}_{2}{B}_{1}}$=0，
∴-ac+b²=0，
由b²=a²-c²，即a²-ac-c²=0，等式两边同除以a²，
由e=$\frac{c}{a}$，整理得：e²+e-1=0，
解得：e=$\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$，
由0＜e＜1，
∴e=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
故答案为：$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查向量数量积的坐标表示，考查计算能力，属于中档题．