Question

17．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2$\sqrt{2}$，AP=AD=AB=$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）设平面PAD与平面PBC的交线为l，证明BC∥l；
（Ⅱ）试在棱PA上确定一点E，使得PC∥平面BDE，并求出此时$\frac{AE}{EP}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由BC∥平面PAD，推导出l∥BC．
（Ⅱ）连接AC，BD，相交于O，过O作OE∥PC，与PA交于E，如图1，则PC∥平面BDE．

解答 （Ⅰ）证明：∵在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，
∴AD∥BC，AD?平面PAD，BC?平面PAD，
∴BC∥平面PAD，
又平面PBC过BC，且与平面PAD交于l，
∴BC∥l；
（Ⅱ）解：连接AC，BD，相交于O，过O作OE∥PC，与PA交于E，如图1，则PC∥平面BDE，
此时AE：EP=AO：OC=AD：BC=$\sqrt{2}$：2$\sqrt{2}$=1：2．

点评 本题考查了线面平行的判定定理和性质定理的运用；关键是适当作辅助线，将问题转化为线线关系解答．