Question

13．奇函数f（x）满足：①f（x）在（0，+∞）内是单调递减函数；②f（2）=0．则不等式（x-1）•f（x）＞0的解集为（-2，0）∪（1，2）．

Answer 1

分析 根据已知可得当x∈（-2，0）∪（2，+∞）时，f（x）＜0，当x∈（-∞，-2）∪（0，2）时，f（x）＞0，进而可得不等式（x-1）•f（x）＞0的解集．

解答 解：∵奇函数f（x）满足：①f（x）在（0，+∞）内是单调递减函数；②f（2）=0．
故当x∈（-2，0）∪（2，+∞）时，f（x）＜0，
当x∈（-∞，-2）∪（0，2）时，f（x）＞0，
则x∈（-∞，-2）时，x-1＜0，（x-1）•f（x）＜0，
x∈（-2，0）时，x-1＜0，（x-1）•f（x）＞0，
x∈（0，1）时，x-1＜0，（x-1）•f（x）＜0，
x∈（1，2）时，x-1＞0，（x-1）•f（x）＞0，
x∈（2，+∞）时，x-1＞0，（x-1）•f（x）＜0，
综上可得：不等式（x-1）•f（x）＞0的解集为（-2，0）∪（1，2），
故答案为：（-2，0）∪（1，2）

点评 本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数的单调性，分类讨论思想，难度中档．