Question

4．过点A（6，4）作曲线f（x）=2$\sqrt{x-2}$的切线l，则切线l与x轴及曲线f（x）=2$\sqrt{x-2}$所围成的封闭图形的面积S=$\frac{16}{3}$．

Answer 1

分析 求在点（6，4）处的切线方程，欲求封闭图形的面积，利用定积分的几何意义求面积，只须求出积分的上下限即可，故先利用令f（x）=2$\sqrt{x-2}$=0，则x=2．令y=$\frac{1}{2}x+1$=0，则x=-2，再结合图象特征即得，最后定积分公式计算即得．

解答 解：∵f′（x）=$\frac{2}{\sqrt{4x-8}}$，∴f′）6）=$\frac{1}{2}$，
∴切线l的方程为：y-4=$\frac{1}{2}$（x-6），即y=$\frac{1}{2}x+1$
（2）令f（x）=2$\sqrt{x-2}$=0，则x=2．
令y=$\frac{1}{2}x+1$=0，则x=-2．
∴S=${∫}_{-2}^{6}$（$\frac{1}{2}x+1$）dx-${∫}_{2}^{6}$（2$\sqrt{x-2}$）dx=$（\frac{1}{4}{x}^{2}+x）{|}_{-2}^{6}-\frac{1}{6}（4x-8）^{\frac{3}{2}}{|}_{2}^{6}$=9+6-（1-2）-$\frac{1}{6}×1{6}^{\frac{3}{2}}$=$\frac{16}{3}$．
故答案为$\frac{16}{3}$．

点评 本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程、定积分的几何意义等基础知识，考查运算求解能力．属于中档题．