Question

14．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），F₁，F₂分别为其左右焦点，
（1）已知P，Q为椭圆C上两动点，直线PQ过点F₂（c，0），且不垂直于x轴，△PQF₁的周长为8，且椭圆的短轴长为2$\sqrt{3}$，求椭圆C的标准方程；
（2）已知A（a，0），B（0，b），B′（0，-b），F₂（c，0），若直线AB⊥B′F₂，求椭圆C的离心率．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），焦点在x轴上，由椭圆的定义可知：丨PF₁丨+丨PF₂丨+丨QF₁丨+丨QF₂丨=4a=8，a=2，由2b=2$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{3}$，即可求得椭圆C的标准方程；
（2）由$\overrightarrow{AB}$=（-a，b），$\overrightarrow{B′{F}_{2}}$=（c，b），AB⊥B′F₂，可知：$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{B′{F}_{2}}$=0，即可求得b²=ac，因此c²+ac-a²=0，即e²+e-1=0，根据离心率的取值范围，即可求得椭圆C的离心率．

解答 解：（1）由椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），焦点在x轴上，
由椭圆的定义可知：丨PF₁丨+丨PF₂丨=2a，丨QF₁丨+丨QF₂丨=2a，
由△PQF₁的周长为8，
∴丨PF₁丨+丨PF₂丨+丨QF₁丨+丨QF₂丨=4a=8，
∴a=2，
由2b=2$\sqrt{3}$，即b=$\sqrt{3}$，
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）由A（a，0），B（0，b），B′（0，-b），F₂（c，0），
∴$\overrightarrow{AB}$=（-a，b），$\overrightarrow{B′{F}_{2}}$=（c，b），
由AB⊥B′F₂，
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{B′{F}_{2}}$=0，即-ac+b²=0，
∴b²=ac，
由a²=b²+c²，
∴c²+ac-a²=0，等式两边同除以a²，
由e=$\frac{c}{a}$，0＜e＜1，
∴e²+e-1=0，解得：e=$\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$，
∴e=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴椭圆C的离心率$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程及椭圆的简单几何性质的应用，考查向量数量积的坐标运用，考查计算能力，属于中档题．