Question

16．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ） （A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的 一段图象（如图）所示．
（1）求函数的解析式；
（2）当x∈[0，$\frac{π}{2}}$]，求函数f（x）的最值，并且求使f（x）取得最值对应x的取值．

Answer 1

分析 （1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由特殊点的坐标求出φ的值，再根据五点法作图求出ω的值，从而求得该函数的解析式；
（2）由$0≤x≤\frac{π}{2}$，得$\frac{π}{3}≤2x+\frac{π}{3}≤\frac{4π}{3}$，即可得出结论．

解答 解：（1）由图可知A=3，T=$\frac{5π}{6}-（-\frac{π}{6}）$=π，又$T=\frac{2π}{ω}$，故ω=2…3
所以y=3sin（2x+φ），把$（-\frac{π}{6}，0）$代入得：$0=3sin（-\frac{π}{3}+φ）$
故$-\frac{π}{3}+φ=2kπ$，∴$φ=2kπ+\frac{π}{3}$，k∈Z
∵|φ|＜π，故k=1，$φ=\frac{π}{3}$，∴$f（x）=3sin（2x+\frac{π}{3}）$…5
（2）∵$0≤x≤\frac{π}{2}$，∴$\frac{π}{3}≤2x+\frac{π}{3}≤\frac{4π}{3}$，…7
当$2x+\frac{π}{3}=\frac{π}{2}$，即$x=\frac{π}{12}$时，函数f（x）取得最大值3；…9
当$2x+\frac{π}{3}=\frac{4π}{3}$，即$x=\frac{π}{2}$时，函数f（x）取得最小值是$-\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$…12

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由特殊点的坐标求出φ的值，再根据五点法作图求出ω的值，属于中档题．