Question

11．设命题p：函数f（x）=x³+mx²+（m+$\frac{4}{3}$）x+6在R有极值；
命题q：3^x-9^x＜m对一切实数x恒成立．
如果命题“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 如果命题“p∧q”为假命题，则命题p为假，或命题q为假，进而得到实数m的取值范围．

解答 解：若函数f（x）=x³+mx²+（m+$\frac{4}{3}$）x+6在R有极值；
则函数f′（x）=3x²+2mx+（m+$\frac{4}{3}$）的△=$4{m}^{2}-12（m+\frac{4}{3}）＞0$，
解得：m＜-1，或m＞4，
即命题p：m＜-1，或m＞4，
3^x-9^x＜m，即3^x-（3^x）²＜m，即t-t²＜m（t＞0），
即m＞$\frac{1}{2}$，
即命题q：m＞$\frac{1}{2}$，
果命题“p∧q”为假命题，
则命题p为假，或命题q为假，
即：-1≤m≤4，或m≤$\frac{1}{2}$，
即m≤4．

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，利用导数研究函数的极值，函数恒成立问题等知识点，难度中档．