Question

3．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，点A（0，1），且|AF₁|=$\sqrt{5}$，椭圆C的离心率为$\frac{2}{3}$．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点A作直线l与椭圆C交于M，N两点，若3$\overrightarrow{AM}$+2$\overrightarrow{AN}$=$\overrightarrow 0$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）由|AF₁|=$\sqrt{5}$求得c，结合椭圆离心率求得a，进一步求得b，则椭圆方程可求；
（2）由题意可知，直线l的斜率存在，设直线方程为y=kx+1．由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}=1}\end{array}\right.$，得（5+9k²）x²+18kx-36=0．设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），再利用根与系数关系结合3$\overrightarrow{AM}$+2$\overrightarrow{AN}$=$\overrightarrow 0$得到k值，由此能求出直线l的方程．

解答 解：（1）由|AF₁|=$\sqrt{5}$，得c²+1=5，解得c=2．
又$e=\frac{c}{a}=\frac{2}{3}$，∴a=3，则b²=a²-c²=5．
∴椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}=1$；
（2）由题意可知，直线l的斜率存在，设直线方程为y=kx+1，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}=1}\end{array}\right.$，得（5+9k²）x²+18kx-36=0．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{18k}{5+9{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=-\frac{36}{5+9{k}^{2}}$，①
由3$\overrightarrow{AM}$+2$\overrightarrow{AN}$=$\overrightarrow 0$，得$\overrightarrow{AM}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{AN}$，
∴（x₁，y₁-1）=$-\frac{2}{3}（{x}_{2}，{y}_{2}-1）$，则${x}_{1}=-\frac{2}{3}{x}_{2}$，②
把②代入①得：5+9k²=54k²，解得k=$±\frac{1}{3}$．
∴直线l的方程为$y=±\frac{1}{3}x+1$．

点评 本题考查用待定系数法求曲线方程的能力，通过处理直线与圆锥曲线的位置关系，考查学生的运算能力．通过向量与几何问题的综合，考查学生分析转化问题的能力，探究研究问题的能力，并体现了合理消元，设而不解的代数变形的思想，是中档题．