Question

14．已知点D（x₀，y₀）为椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）上一点，直线l：xx₀+yy₀=2a与直线x=±2分别交于G、H两点，且$\overrightarrow{OG}•\overrightarrow{OH}$=-2（其中O为坐标原点），则椭圆E的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 由已知求得G、H的坐标，得到$\overrightarrow{OG}、\overrightarrow{OH}$的坐标，代入数量积求得${{y}_{0}}^{2}=\frac{1}{2}（{a}^{2}-{{x}_{0}}^{2}）$，再由D在椭圆上可得$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{b}^{2}}=1$，联立即可求得答案．

解答 解：由直线l：xx₀+yy₀=2a与直线x=±2分别交于G、H两点，得G（2，$\frac{2a-2{x}_{0}}{{y}_{0}}$），H（-2，$\frac{2a+2{x}_{0}}{{y}_{0}}$），
由$\overrightarrow{OG}•\overrightarrow{OH}$=4，得$-4+\frac{4{a}^{2}-4{{x}_{0}}^{2}}{{{y}_{0}}^{2}}$=4，即${{y}_{0}}^{2}=\frac{1}{2}（{a}^{2}-{{x}_{0}}^{2}）$，①
又点D（x₀，y₀）在椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）上，
∴$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{b}^{2}}=1$，②
联立①②，得$（2{b}^{2}-{a}^{2}）（{{x}_{0}}^{2}-{a}^{2}）=0$，
∴a²=2b²，则a²=2（a²-c²），即a²=2c²，解得e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查椭圆离心率的求法，是中档题．