Question

4．已知a＞0且a≠1，函数$f（x）={log_a}（{x+1}）+{log_{\frac{1}{a}}}（{3+x}）$，
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）将函数y=f（x）的图象向右平移两个单位后得到函数y=g（x）的图象，若实数x满足g（x）≥0，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用对数的真数大于0，列出不等式组求解即可得到函数的定义域．
（2）利用函数的图象变换，以及对数的性质列出不等式求解即可．

解答 （本小题满分16分）
解：（1）要使函数有意义，则$\left\{\begin{array}{l}x+1＞0\\ 3+x＞0\end{array}\right.$…（2分）
解得x＞-1；
所以函数f（x）的定义域为（-1，+∞）…（4分）
（2）因为函数y=g（x）的图象可由函数y=f（x）的图象向右平移两个单位后得到，
所以g（x）=f（x-2）
即g（x）=log_a（x-1）-log_a（1+x），…（6分）
又因为g（x）≥0，所以log_a（x-1）≥log_a（1+x），…（8分）
当a＞1时，则$\left\{\begin{array}{l}x＞1\\ x-1≥1+x\end{array}\right.$，解得x∈∅；…（10分）
当0＜a＜1时，则$\left\{\begin{array}{l}x＞1\\ x-1≤1+x\end{array}\right.$，解得x＞1…（12分）
综上：当a＞1时，x的取值范围为∅；
当0＜a＜1时，x的取值范围为（1，+∞）…（14分）

点评 本题考查函数与分析的应用，函数的定义域以及对数函数的简单性质的应用，考查计算能力．