Question

3．（1）求数列$1\frac{1}{2}，2\frac{1}{4}，3\frac{1}{8}，4\frac{1}{16}，…$前n项的和
（2）已知数列{a_n}的前n项和s_n满足s_n=2ⁿ⁺¹-1，求它的通项公式．

Answer 1

分析 （1）令数列$1\frac{1}{2}，2\frac{1}{4}，3\frac{1}{8}，4\frac{1}{16}，…$前n项的和为S_n，利用分组求和即可求得数列$1\frac{1}{2}，2\frac{1}{4}，3\frac{1}{8}，4\frac{1}{16}，…$前n项的和；
（2）当n≥2时，利用a_n=S_n-S_n-1=可求得a_n=2ⁿ，再验证n=1时，是否适合，即可得到数列{a_n}的通项公式．

解答 解：（1）令数列$1\frac{1}{2}，2\frac{1}{4}，3\frac{1}{8}，4\frac{1}{16}，…$前n项的和为S_n，
则S_n=$1\frac{1}{2}+2\frac{1}{4}+3\frac{1}{8}+4\frac{1}{16}+…+（n+\frac{1}{{2}^{n}}）$
=（1+2+…+n）+（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$）
=$\frac{n（1+n）}{2}$+$\frac{\frac{1}{2}[1{-（\frac{1}{2}）}^{n}]}{1-\frac{1}{2}}$
=$\frac{n（1+n）}{2}$+1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．
（2）∵S_n=2ⁿ⁺¹-1，
∴当n=1时，a₁=S₁=3；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ⁺¹-2ⁿ=2ⁿ，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{3，n=1}\\{{2}^{n}，n≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列递推式的应用，考查分组求和法，考查转化思想、分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题．