Question

13．对于n∈N*，定义$f（n）=[{\frac{n}{10}}]+[{\frac{n}{{{{10}^2}}}}]+[{\frac{n}{{{{10}^3}}}}]+…+[{\frac{n}{{{{10}^k}}}}]$，其中k是满足10^k≤n的最大整数，[x]表示不超过x的最大整数，如[2.5]=2，[3]=3，则
（Ⅰ）f（2016）=223；
（Ⅱ）满足f（m）=100的最大整数m为919．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由10^k≤2016，则k=3，根据定义进行求解即可得到结论；
（Ⅱ）讨论m=1000，m＜1000，根据定义进行求解即可得到结论．

解答 解：（Ⅰ）由10^k≤2016，则k=3，
则f（2016）=[$\frac{n}{10}$]+[$\frac{n}{1{0}^{2}}$]+…+[$\frac{n}{1{0}^{k}}$]=[$\frac{2016}{10}$]+[$\frac{2016}{100}$]+[$\frac{2016}{1000}$]
=[201.6]+[20.16]+[2.016]=201+20+2=223；
（Ⅱ）当m=1000时，k=3，此时f（1000）=[$\frac{n}{10}$]+[$\frac{n}{1{0}^{2}}$]+…+[$\frac{n}{1{0}^{k}}$]
=[100]+[10]+[1]=111＞100，
∴m＜1000，即k=2，设三位数为m=a×100+b×10+c，
则f（m）=10a+b+a=11a+b=100，
则当a=9时，b=1，此时m=900+10+c=910+c，
∴当c=9时，m取得最大值为910+9=919，
故答案为：223，919．

点评 本题主要考查函数值的计算，根据[x]的定义是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．