Question

18．已知函数f（x）=lnx-x．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若方程f（x）=m（m＜-2）有两个相异实根x₁，x₂，且x₁＜x₂，证明：x₁•x₂²＜2．

Answer 1

分析 （1）确定函数的定义域，求导数，即可求函数f（x）的单调区间；
（2）证明x₂＞2，构造g（x）=lnx-x-m，证明g（x）在（0，1）上单调递增，即可证明结论．

解答 解：（1）f（x）=lnx-x的定义域为（0，+∞）                              …（1分）
令f′（x）＜0得x＞1，令f′（x）＞0得0＜x＜1
所以函数f（x）=lnx-x的单调减区间是（1，+∞），单调递增区间（0，1）…（3分）          …（4分）
（2）由（1）可设f（x）=m（m＜-2）有两个相异实根x₁，x₂，满足lnx-x-m=0
且0＜x₁＜1，x₂＞1，lnx₁-x₁-m=lnx₂-x₂-m=0                …（5分）
由题意可知lnx₂-x₂=m＜-2＜ln2-2                          …（6分）
又由（1）可知f（x）=lnx-x在（1，+∞）递减
故x₂＞2                                                      …（7分）
令g（x）=lnx-x-m
g（x₁）-g（$\frac{2}{{{x}_{2}}^{2}}$）=-x₂+$\frac{2}{{{x}_{2}}^{2}}$+3lnx₂-ln2                       …（8分）
令h（t）=$-t+\frac{2}{{t}^{2}}$+3lnt-ln2（t＞2），
则h′（t）=-$\frac{（t-2）^{2}（t+1）}{{t}^{3}}$．
当t＞2时，h′（t）＜0，h（t）是减函数，所以h（t）＜h（2）=2ln2-$\frac{3}{2}$＜0．…（9分）
所以当x₂＞2 时，g（x₁）-g（$\frac{2}{{{x}_{2}}^{2}}$）＜0，即g（x₁）＜g（$\frac{2}{{{x}_{2}}^{2}}$）              …（10分）
因为g（x）在（0，1）上单调递增，
所以x₁＜$\frac{2}{{{x}_{2}}^{2}}$，故x₁•x₂²＜2．                                         …（11分）
综上所述：x₁•x₂²＜2                                                …（12分）

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，正确构造函数是关键．