Question

6．如图，已知四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，且底面ABCD是边长为2的正方形，M、N分别为PB、PC的中点．
（1）证明：MN∥平面PAD；
（2）若PB与平面ABCD所成的角为45°，求三棱锥C-BDN的体积V．

Answer 1

分析 （1）由MN∥BC∥AD即可得出MN∥AD，从而得出结论；
（2）连接BD，由PD=BD=2$\sqrt{2}$得出N到平面ABCD的距离为h=$\sqrt{2}$，则V_C-BDN=V_N-BCD=$\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•h$．

解答 证明：（1）∵M，N是PB，PC的中点，
∴MN∥BC，又BC∥AD，
∴MN∥AD，又MN?平面PAD，AD?平面PAD，
∴MN∥平面PAD．
（2）连接BD，则BD=2$\sqrt{2}$，
∵PD⊥底面ABCD，
∴∠PBD为PB与平面ABCD所成的角，
∴∠PBD=45°，
∴PD=BD=2$\sqrt{2}$，
∵N为PC的中点，
∴N到平面ABCD的距离h=$\frac{1}{2}$PD=$\sqrt{2}$，
∴V_C-BDN=V_N-BCD=$\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•h$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×\sqrt{2}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查了线面平行的判定定理，棱锥的体积计算，属于中档题．