在平面直角坐标系xOy中.已知曲线C1:$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$.以平面直角坐标系xOy的原点O为极点.x轴的正半轴为极轴.取相同的单位长度建立极坐标系.已知直线l:ρ=6．(1)求C1及直线l的直角坐标方程(2)在曲线C1上求一点P.使点P到直线l的距离最小.并求出此� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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16．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：ρ（2cosθ-sinθ）=6．
（1）求C₁及直线l的直角坐标方程
（2）在曲线C₁上求一点P，使点P到直线l的距离最小，并求出此最大值．

分析（1）由$\left\{\begin{array}{l}x=cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$得x²+y²=1，利用极坐标与直角坐标互化方法得到直线l的直角坐标方程；
（2）利用参数，求出圆心到直线的距离，即可得出结论．

解答解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}x=cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$得x²+y²=1，
由ρ（2cosθ-sinθ）=6，∴2ρcosθ+ρsinθ=6，
直线的直角坐标方程为：2x+y-6=0．
（2）圆心为（0，0），r=1，圆心到直线的距离$d=\frac{{|{2cosθ+sinθ-6}|}}{{\sqrt{{2^2}+{1^2}}}}=\frac{{|{\sqrt{5}sin（θ+φ）-6}|}}{{\sqrt{5}}}，sinφ=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}，cosφ=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，
当$θ+φ=\frac{π}{2}$时P到直线的距离最短，此时$x=cosθ=sinφ=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}，y=sinθ=coφ=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，
所以点P坐标是$（\frac{{2\sqrt{5}}}{5}，\frac{{\sqrt{5}}}{5}）$，
圆上的点P到直线的最短距离为$\frac{{6\sqrt{5}}}{5}-1$，最大距离为$\frac{{6\sqrt{5}}}{5}+1$．

点评本题考查参数方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查点到直线的距离公式，属于中档题．

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