Question

11．设[x]表不超过实数x的最大整数，又g（x）=$\frac{{a}^{x}}{{a}^{x}+1}$（a＞0，a≠1），那么函数f（x）=[g（x）-$\frac{1}{2}$]+[g（-x）-$\frac{1}{2}$]的值域是{0，-1}．

Answer 1

分析 由题意可得出g（x）+g（-x）=1，g（x）=1-$\frac{1}{{a}^{x}+1}$∈（0，1）；再对g（x）与g（-x）的分类区间讨论即可；

解答 解：由题意知g（x）=$\frac{{a}^{x}}{{a}^{x}+1}$（a＞0，a≠1），则：
g（-x）=$\frac{{a}^{-x}}{{a}^{-x}+1}$=$\frac{1}{{a}^{x}+1}$；
所以，g（x）+g（-x）=1；
又由于g（x）=1-$\frac{1}{{a}^{x}+1}$∈（0，1）；
故当g（x）∈（0，$\frac{1}{2}$）时，g（-x）∈（$\frac{1}{2}$，1）时，
f（x）=[g（x）-$\frac{1}{2}$]+[g（-x）-$\frac{1}{2}$]
=-1+0=-1；
当g（x）=g（-x）=$\frac{1}{2}$，
f（x）=[g（x）-$\frac{1}{2}$]+[g（-x）-$\frac{1}{2}$]=0+0=0；
当g（x）∈（$\frac{1}{2}$，1）时，g（-x）∈（0，$\frac{1}{2}$），
f（x）=[g（x）-$\frac{1}{2}$]+[g（-x）-$\frac{1}{2}$]=0+（-1）=-1；
综上所述，函数f（x）的值域为{0，-1}；
故答案为：{-1，0}．

点评 本题主要考查了函数的基本性质，以及对创新题型定义的理解应用，属中等题．