Question

6．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，5a²-5c²=5b²-8bc，边b，c是关于x的方程：x²-（12tanA）x+25cosA=0的两个根（b＜c），D为△ABC内任一点，点D到三边的距离和为d．
（1）求边a，b，c；
（2）求d的取值范围．

Answer 1

分析 （1）边b，c是关于x的方程：x²-（12tanA）x+25cosA=0的两个根求出b与c的关系，利用余弦定理求解A．即可求边a，b，c．
（2）设点D到三边距离分别为x，y，z，利用三角形面积公式和由线性规划求解．

解答 解：（1）∵5a²-5c²=5b²-8bc，cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，
∴cosA=$\frac{4}{5}$，那么：tanA=$\frac{3}{4}$．
由边b，c是关于x的方程：x²-（12tanA）x+25cosA=0的两个根：
则有：$\left\{\begin{array}{l}{b+c=12tanA}\\{bc=25cosA}\\{b＜c}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=3}\\{c=5}\\{b=4}\end{array}\right.$，
即a的值为3，b的值为4，c的值为5．
（2）设点D到三边距离分别为x，y，z．
由${S}_{ABC}=\frac{1}{2}（3x+4y+5z）=6$
z=$\frac{1}{5}（12-3x-4y）$，
则d=$\frac{12}{5}+\frac{1}{5}（2x+y）$
由线性规划：$\left\{\begin{array}{l}{3x+4y≤12}\\{x≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$，
可得：$\frac{12}{5}＜d＜4$
即d的取值范围是（$\frac{12}{5}$，4）．

点评 本题考查了二次方程的根与系数的关系和余弦定理的运用．三角形面积公式和线性规划求解范围问题．属于中档题．