Question

16．?x∈（0，+∞），不等式a^x＞log_ax（a＞0，a≠1）恒成立，则a的取值范围是$[{e}^{\frac{1}{e}}，+∞）$．

Answer 1

分析 依题意，当a＞1时，问题等价于a^x≥x在区间（0，+∞）上恒成立，构造函数f（x）=a^x-x，则f′（x）=a^xlna-1，可求得x=${log}_{a}\frac{1}{lna}$时函数f（x）取到最小值，从而可得a的取值范围；再分析0＜a＜1时的情形，即可得答案．

解答 解：当a＞1，由题意可得y=a^x与y=log_ax互为反函数，
故问题等价于a^x≥x（a＞0，a≠1）在区间（0，+∞）上恒成立．
构造函数f（x）=a^x-x，则f′（x）=a^xlna-1，
令f′（x）=0，得x=${log}_{a}\frac{1}{lna}$，且此时函数f（x）取到最小值，
故有${a}^{{log}_{a}\frac{1}{lna}}$＞${log}_{a}\frac{1}{lna}$≥0，解得a≥${e}^{\frac{1}{e}}$；
当0＜a＜1时，不符合条件，舍去，
故a的取值范围是：a≥${e}^{\frac{1}{e}}$；
故答案为：$[{e}^{\frac{1}{e}}，+∞）$．

点评 本题考查函数恒成立问题，考查转等价化思想与分类讨论思想，利用y=a^x与y=log_ax互为反函数，当a＞1时，问题等价于a^x≥x在区间（0，+∞）上恒成立是关键，也是难点，考查利用导数研究函数的单调性与最值，属于难题．