Question

4．已知椭圆C过点A（1，$\frac{3}{2}$），两个焦点为F₁（-1，0），F₂（1，0）．求椭圆C的方程及离心率．

Answer 1

分析 由题意可知：椭圆的焦点在x轴上，且c=1，设设椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}-1}=1$，（a＞1），将A（1，$\frac{3}{2}$）代入椭圆方程，即可求得a的值，求得椭圆方程，由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$．

解答 解：由题意可知：焦点为F₁（-1，0），F₂（1，0），椭圆的焦点在x轴上，c=1，
则设椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}-1}=1$，（a＞1），将A（1，$\frac{3}{2}$）代入椭圆方程，
则$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4（{a}^{2}-1）}$=1，4a⁴-17a²+4=0，解得：a²=$\frac{1}{4}$，a²=4，
由a＞1，
∴a²=4，
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，
由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
∴椭圆C的方程$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，离心率$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查椭圆的离心率公式，考查计算能力，属于基础题．