Question

9．如图，四边形ABEF为矩形，四边形CEFD为直角梯形，CE∥DF，EF⊥FD，平面ABEF⊥平面CEFD，P为AD的中点，且AB=EC=$\frac{1}{2}$FD．
（1）求证：CD⊥平面ACF；
（2）若BE=2AB，求二面角B-FC-P的余弦值．

Answer 1

分析 （1）通过证明AF⊥CD，CD⊥FC．即可证明CD⊥平面ACF．
（2）利用空间直角坐标系，通过求解平面的法向量，利用向量的数量积求解即可．

解答 （1）证明：∵AF⊥EF，平面ABEF⊥平面CEFD，平面ABEF∩平面CEFD=EF，
∴AF⊥平面CEFD，从而AF⊥CD．
设Q为DF的中点，连接CQ．
∵四边形CEFD为直角梯形，EC=$\frac{1}{2}$FD=FQ，EC=AB=EF，
∴四边形CEFQ为正方形，△CQD为等腰直角三角形．
∴∠FCD=90°，即CD⊥FC．
又AF∩CF=F，∴CD⊥平面ACF…（6分）
（2）解：以F为坐标原点，FE，FD，FA所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角 坐标系，设AB=1，则BE=2，FD=2．

∴F（0，0，0），C（1，1，0），B（1，0，2），D（0，2，0），A（0，0，2），P（0，1，1），
故$\overrightarrow{FC}$=（1，1，0），$\overrightarrow{PB}$=（1，0，2），$\overrightarrow{FP}$=（0，1，1），设平面SFC的一个法向量$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（x₁，y₁，z₁），则$\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{FC}=0$，$\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{FB}=0$
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{y}_{1}=0}\\{{x}_{1}+2{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，令z₁=1，则$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（-2，2，1）．
同理可得，平面FCP的一个法向量$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（1，-1，1）．
∴cos$＜\overrightarrow{{n}_{1}}，\overrightarrow{{n}_{2}}＞$=$\frac{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}}{|\overrightarrow{{n}_{1}}||\overrightarrow{{n}_{2}}|}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，由图可知，二面角B-FC-P的余弦值为：$-\frac{\sqrt{3}}{3}$…（12分）

点评 本题考查二面角的平面镜的求法，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．