Question

17．设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=1，S_n+1=2S_n+n+1（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=$\frac{{a}_{n}+1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系可得：a_n+1=2a_n+1，变形为：a_n+1+1=2（a_n+1），利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（1）∵S_n+1=2S_n+n+1（n∈N^*），
∴当n≥2时，S_n=2S_n-1+n，
∴a_n+1=2a_n+1，
变形为：a_n+1+1=2（a_n+1），
∴数列{a_n+1}是等比数列，公比为2，首项为2．
∴a_n+1=2ⁿ，
∴a_n=2ⁿ-1．
（2）b_n=$\frac{{a}_{n}+1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}-1）（{2}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$1-\frac{1}{{2}^{2}-1}$+$\frac{1}{{2}^{2}-1}-\frac{1}{{2}^{3}-1}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$
=1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$．

点评 本题考查了“裂项求和”方法、数列递推关系、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．