Question

17．定义在R上的函数f（x）满足：f'（x）-f（x）＞1，且f（0）=3，则不等式f（x）＞4e^x-1（其中e为自然对数的底数）的解集为（0，+∞）．

Answer 1

分析 设g（x）=e^-xf（x）+e^-x，利用导数性质得y=g（x）在定义域上单调递增，从而得到g（x）＞g（0），由此能求出f（x）＞4•e^x-1（其中e为自然对数的底数）的解集

解答 解：设g（x）=e^-xf（x）+e^-x，
则g′（x）=-e^-xf（x）+e^-xf′（x）-e^-x=e^-x[f'（x）-f（x）-1]，
∵f（x）-f′（x）＞1，∴f（x）-f′（x）-1＞0，
∴g′（x）＞0，
∴y=g（x）在定义域上单调递增，g（0）=4，
∵f（x）＞4•e^x-1，∴e^-xf（x）＞4-e^-x，得到g（x）＞4=g（0），
∴g（x）＞g（0）．∴x＞0，
∴f（x）＞4•e^x-1（其中e为自然对数的底数）的解集为（0，+∞）．
故答案为：（0，+∞）．

点评 本题考查函数的解集的求法；关键是利用已知条件适当构造新函数，利用函数的单调性求不等式的解集．