Question

18．已知常数a＞0，函数f（x）=ln（1+ax）-$\frac{2x}{x+2}$．讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性．

Answer 1

分析 利用导数判断函数的单调性，注意对a分类讨论．

解答 解：∵f（x）=ln（1+ax）-$\frac{2x}{x+2}$，
∴f′（x）=$\frac{a}{1+ax}$-$\frac{4}{{（x+2）}^{2}}$=$\frac{{ax}^{2}-4（1-a）}{（1+ax{）（x+2）}^{2}}$，
∵（1+ax）（x+2）²＞0，
∴当1-a≤0时，即a≥1时，f′（x）≥0恒成立，
则函数f（x）在（0，+∞）单调递增，
当0＜a≤1时，由f′（x）=0得x=±$\frac{2\sqrt{a（1-a）}}{a}$，
则函数f（x）在（0，$\frac{2\sqrt{a（1-a）}}{a}$）单调递减，在（$\frac{2\sqrt{a（1-a）}}{a}$，+∞）单调递增．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．