Question

13．如图所示的三棱柱ABE-DCF中，AB=AF，BE=EF=2．
（Ⅰ）证明：AE⊥BF；
（Ⅱ）若∠BEF=60°，AE=$\sqrt{2}$AB=2，求三棱柱ABE-DFC的体积．

Answer 1

分析 （I）连接EC，与BF相交于点O，连接AO．由平行四边形的性质可得点O是BF的中点，利用等腰三角形的性质可得OA⊥BF，EO⊥BF，即可证明BF⊥平面AEO，即可得出AE⊥BF．
（II）由∠BEF=60°，BE=EF=2，可得△BEF是等边三角形，可得AB²+AF²=BF²，∠BAF=90°．可得OA²+OE²=AE²，由（I）可得：BF⊥平面AEO，于是V_A-BEF=$\frac{1}{3}×{S}_{OAE}×BF$．可得三棱柱ABE-DFC的体积=3V_A-BEF．

解答 （I）证明：连接EC，与BF相交于点O，连接AO．
∵四边形BEFC是平行四边形，
∴点O是BF的中点，
∵AB=AF，BE=EF=2．
∴OA⊥BF，EO⊥BF，
又OA∩OE=O，
∴BF⊥平面AEO，AE?平面OAE．
∴AE⊥BF．
（II）解：∵∠BEF=60°，BE=EF=2，
∴△BEF是等边三角形，
∴BF=2，OE=$\sqrt{3}$．
∵AE=$\sqrt{2}$AB=2，∴AB=$\sqrt{2}$=AF，
∴AB²+AF²=BF²，∴∠BAF=90°．
∴OA=OB=OF=1．
∴OA²+OE²=AE²，∴∠AOE=90°．
由（I）可得：BF⊥平面AEO，
∴V_A-BEF=$\frac{1}{3}×{S}_{OAE}×BF$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}$×2=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴三棱柱ABE-DFC的体积=3V_A-BEF=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了三棱锥的体积计算公式及其性质、勾股定理及其逆定理、等腰与等边三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．