Question

1．函数f（x）=ax³+bx²-c，当x=1时，f（x）取得的极值-3-c．  
 （1）求a，b的值；
（2）求函数f（x）的极值；
（3）若对于任意x＞0，不等式f（x）≥-2c²恒成立，求c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：求导f′（x）=3ax²+2bx，由f（x）在x=1时取得极值3，$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）=3a+2b=0}\\{f（1）=a+b-c=-3-c}\end{array}\right.$，解方程组即可求得a，b的值；
（2）求导f′（x）=-8x²+18x=18x（x-1），令f′（x）=0，解得：x=0或x=1，则f′（x）＞0，求得函数的单调递增区间，f′（x）＜0，求得函数f（x）单调递减区间；
（3）由题意可知：6x³-9x²-c≥-2c²对任意x＞0恒成立，由函数的单调性可知：当x=1时，f（x）_min=-3-c，因此-3-c≥-2c²，则2c²-c-3≥0，即可求得c的取值范围．

解答 解：（1）由f（x）=ax³+bx²-c，求导f′（x）=3ax²+2bx，
∵f（x）在x=1时取得极值3，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）=3a+2b=0}\\{f（1）=a+b-c=-3-c}\end{array}\right.$，解得：a=6，b=-9，
a，b的值分别为6，-9；
故f（x）=6x³-9x²-c；
（2）由（1）可知：f（x）=6x³-9x²-c，
求导f′（x）=18x²-18x=18x（x-1），
令f′（x）=0，解得：x=0或x=1，
当x＜0或x＞1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
当0＜x＜1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
∴函数f（x）的单调递增区间：（-∞，0）和（1，+∞）；单调递减区间是（0，1）；
当x=0时，取极大值，f（0）=-c，当x=1时取极小值，f（1）=-3-c；
∴函数f（x）的极大值为-c，极小值-3-c；
（3）由f（x）≥-2c²对任意x＞0恒成立，6x³-9x²-c≥-2c²对任意x＞0恒成立，
∵当x=1时，f（x）_min=-3-c，
∴-3-c≥-2c²，整理得：2c²-c-3≥0，
解得：c＞$\frac{3}{2}$，c≤-1．
∴c的取值范围是（-∞，-1]∪[$\frac{3}{2}$，+∞）．

点评 本题考查导数的综合应用，考查利用导数研究函数的单调性及最值，考查不等式恒成立，考查计算能力，属于中档题．