Question

6．设{a_n}是公比小于4的等比数列，S_n为数列{a_n}的前n项和．已知a₁=1，且a₁+3，3a₂，a₃+4构成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=lna_3n+1，n=12…求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．
（2）由（1）可得：a_n=2^n-1．b_n=lna_3n+1=ln2³ⁿ=3nln2．再利用等差数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q＜4，∵a₁+3，3a₂，a₃+4构成等差数列．
∴2×3a₂=a₁+3+a₃+4，∴6q=1+7+q²，解得q=2．
（2）由（1）可得：a_n=2^n-1．
b_n=lna_3n+1=ln2³ⁿ=3nln2．
∴数列{b_n}的前n项和T_n=3ln2×（1+2+…+n）
=$\frac{3n（n+1）}{2}$ln2．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．