Question

16．设函数f（x）=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{x}$，正项数列{a_n}满足a₁=1，a_n=f（$\frac{1}{{a}_{n-1}}$），n∈N^*，且n≥2．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）对n∈N^*，求S_n=$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+$\frac{1}{{a}_{3}{a}_{4}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件可以推知数列{a_n}是以1为首项，以$\frac{1}{2}$为公差的等差数列，所以由等差数列的通项公式进行解答即可；
（2）利用“裂项相消法”求和．

解答 解：（1）由f（x）=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{x}$，a_n=f（$\frac{1}{{a}_{n-1}}$）得到：
a_n=$\frac{1}{2}$+a_n-1，n∈N^*，且n≥2．
所以a_n-a_n-1=$\frac{1}{2}$，n∈N^*，且n≥2．
由等差数列定义可知：数列{a_n}是以1为首项，以$\frac{1}{2}$为公差的等差数列，
所以：a_n=a₁+（n-1）d=1+$\frac{1}{2}$（n-1）=$\frac{n+1}{2}$，
即a_n=$\frac{n+1}{2}$；
（2）由（1）可知a_n=$\frac{n+1}{2}$．
所以$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{4}{（n+1）（n+2）}$=4（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$），
∴S_n=$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+$\frac{1}{{a}_{3}{a}_{4}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$
=4[（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+（$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$）+…+（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）]
=4（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{2n}{n+2}$．

点评 本题主要考查数列通项公式和前n项和的求解，利用“裂项相消法”求和是解决本题的关键．