Question

3．已知定义在R上的偶函数f（x），且在（0，+∞）单调递减，如果实数t满足$f（lnt）+f（ln\frac{1}{t}）≤2f（1）$，求t的取值范围$（0，\frac{1}{e}]∪[e，+∞）$．

Answer 1

分析 根据偶函数的性质和对数的运算性质化简不等式，由偶函数的单调性和条件等价转化不等式，由绝对值不等式的解法和对数函数的单调性，求出t的取值范围．

解答 解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，且$f（ln\frac{1}{t}）=f（-lnt）$，
∴$f（lnt）+f（ln\frac{1}{t}）≤2f（1）$化为：2f（lnt）≤2f（1），
即f（lnt）≤f（1），
∵偶函数f（x）在（0，+∞）单调递减，
∴f（|lnt|）≤f（1），则|lnt|≥1，
解得$0＜t≤\frac{1}{e}$或t≥e，
∴t的取值范围是$（0，\frac{1}{e}]∪[e，+∞）$，
故答案为：$（0，\frac{1}{e}]∪[e，+∞）$．

点评 本题考查了偶函数的性质和单调性，对数函数的运算性质，以及对数函数单调性的应用，考查转化思想，化简、变形能力．