Question

7．△ABC中，$BC=4，\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=5$，则△ABC的面积的最大值为6．

Answer 1

分析 根据向量数量积的定义结合三角形的面积公式，以及余弦定理消去cosA，结合基本不等式的应用进行求解即可．

解答 解：设A、B、C所对边分别为a，b，c，
由$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=2，得bccosA=5      ①，
S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$bc$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{1}{2}$bc$\sqrt{1-\frac{25}{{b}^{2}{c}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{b}^{2}{c}^{2}-25}$
由余弦定理可得b²+c²-2bccosA=16②，
由①②消掉cosA得b²+c²=26，所以b²+c²≥2bc，bc≤13，当且仅当b=c=$\sqrt{13}$时取等号，
所以S_△ABC=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{b}^{2}{c}^{2}-25}$≤$\frac{1}{2}$$\sqrt{1{3}^{2}-25}$=6，
故△ABC的面积的最大值为6，
故答案为：6．

点评 本题考查平面向量数量积的运算、三角形面积公式不等式求最值等知识，综合性较强，有一定难度．