Question

1．某三棱锥的三视图如图所示，正视图是边长为3的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为（　　）

• A． 12π
• B． $6\sqrt{3}π$
• C． 9π
• D． 18π

Answer 1

分析 根据题意得到该几何体有一个侧面PAC垂直于底面，高为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，底面是一个等腰直角三角形的三棱锥，如图所示，这个几何体的外接球的球心O在高线PD上，且是等边三角形PAC的中心，求出外接球的半径，即可确定出表面积．

解答 解：由已知中正视图是一个正三角形，侧视图和俯视图均为三角形，
可得该几何体是有一个侧面PAC垂直于底面，高为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，底面是一个等腰直角三角形的三棱锥，如图所示，
∴这个几何体的外接球的球心O在高线PD上，且是等边三角形PAC的中心，
∴这个几何体的外接球的半径R=$\frac{2}{3}$PD=$\sqrt{3}$，
则几何体的外接球的表面积为4πR²=12π．
故选A．

点评 此题考查了由三视图求面积、体积，根据三视图正确画出几何体是解本题的关键．