Question

11．设p：关于x的方程x²-4x+2a=0在区间[0，5]上有两相异实根；q：“至少存在一个实数x∈[1，2]，使不等式x²+2ax+2-a＞0成立”．若“￢p∧q”为真命题，参数a的取值范围为（-3，0）∪[2，+∞）．

Answer 1

分析 若“￢p∧q”为真命题，则p假q真，进而可得参数a的取值范围．

解答 解：令f（x）=x²-4x+2a，则函数的图象开口朝上，且以直线x=2为对称轴，
若关于x的方程x²-4x+2a=0在区间[0，5]上有两相异实根；
则$\left\{\begin{array}{l}f（0）≥0\\ f（2）＜0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}2a≥0\\ 2a-4＜0\end{array}\right.$，
解得：a∈[0，2），
故命题p：a∈[0，2），
若至少存在一个实数x∈[1，2]，使不等式x²+2ax+2-a＞0成立，
则$\left\{\begin{array}{l}-a≥\frac{3}{2}\\ 1+2a+2-a＞0\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}-a＜\frac{3}{2}\\ 4+4a+2-a＞0\end{array}\right.$，
解得：a∈（-3，+∞），
故命题q：a∈（-3，+∞），
若“￢p∧q”为真命题，则p假q真，
故a∈（-3，0）∪[2，+∞），
故答案为：（-3，0）∪[2，+∞）

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，二次函数的图象和性质等知识点，难度中档．