Question

19．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}xlnx-a{x^2}，x≥1\\{a^x}，x＜1\end{array}$是减函数，则a的取值范围是[$\frac{1}{2}$，1）．

Answer 1

分析 若函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}xlnx-a{x^2}，x≥1\\{a^x}，x＜1\end{array}$是减函数，故每一段上函数均为减函数，且a＞f（1），利用导数法，可得a的取值范围．

解答 解：∵函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}xlnx-a{x^2}，x≥1\\{a^x}，x＜1\end{array}$是减函数，
∴0＜a＜1，
当x≥1时，f′（x）=1+lnx-2ax≤0，2a≥$\frac{1+lnx}{x}$，
设h（x）=$\frac{1+lnx}{x}$，则h′（x）=$\frac{-lnx}{x^2}$=0，解得：x=1，
故h（x）在x=1处取得最大值1，
故2a≥1，即a≥$\frac{1}{2}$，
又a＞f（1）=-a，
故a∈[$\frac{1}{2}$，1）．
故答案为：[$\frac{1}{2}$，1）

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，正确理解分段函数单调性的意义，是解答的关键．