Question

2．已知函数f（x）=|x-a|，g（x）=f（x）+f（x+2）．
（Ⅰ）当a=-1时，解不等式：f（x）≥4-|2x-1|；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤1的解集为[0，2]，求证：g（x）≥2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将a=-1的值代入，通过讨论x的范围，去掉绝对值号，求出不等式的解集取并集即可；
（Ⅱ）求出a=1，从而求出f（x）的表达式，问题转化为证明g（x）=f（x）+f（x+2）≥2即可．

解答 解：（Ⅰ）当a=-1时，不等式|x+1|+|2x-1|≥4，
当x≤-1时，原不等式化为-x-1-2x+1≥4，解之得$x≤-\frac{4}{3}$．…（1分）
当$-1＜x≤\frac{1}{2}$时，原不等式化为x+1-2x+1≥4，解之得x≤-2，不满足，舍去．…（2分）
当$x＞\frac{1}{2}$时，原不等式化为x+1+2x-1≥4，解之得$x≥\frac{4}{3}$．…（3分）
原不等式的解集为$\left\{{x\left|{x≤-\frac{4}{3}或x≥\frac{4}{3}}\right.}\right\}$；…（4分）
（Ⅱ）证明：f（x）≤1即|x-a|≤1，解得a-1≤x≤a+1，而f（x）≤1的解集为[0，2]，
所以$\left\{\begin{array}{l}a-1=0\\ a+1=2\end{array}\right.$，解得a=1，从而f（x）=|x-1|．…（6分）
于是只需证明g（x）=f（x）+f（x+2）≥2．
即证|x-1|+|x+1|≥2．…（8分）
因为|x-1|+|x+1|=|1-x|+|x+1|≥|1-x+x+1|=2．
所以g（x）≥2．…（10分）

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．