Question

17．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，∠ABC=90°，AB=$\sqrt{3}$，BC=1，AA₁=3，BD⊥AC，M为线段CC₁上一点．
（Ⅰ）求CM的值，使得AM⊥平面A₁BD；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求二面角B-AM-C的正切值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出BD⊥AM，AM⊥平面A₁BD．从而能求出当CM=时1，AM⊥平面A₁BD．
（Ⅱ）方法一：在（Ⅰ）的条件下，BD⊥平面ACC₁A₁，BD⊥AM，设A₁D∩AM=N，则∠BND即为二面角B-AM-C的平面角，由此能求出二面角B-AM-C的正切值．
（Ⅱ）方法二：以B为原点，BC，BA，BB₁为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B-AM-C的正切值．

解答 （本小题满分12分）
证明：（Ⅰ）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，
∴平面ACC₁A₁⊥平面ABC．
∵BD⊥AC，∴BD⊥平面ACC₁A₁，∴BD⊥AM．
∵∠ABC=90°，$AB=\sqrt{3}\;\;，\;\;BC=1$，
∴$BD=\frac{{\sqrt{3}}}{2}\;\;，\;\;AD=\frac{3}{2}\;\;，\;\;CD=\frac{1}{2}$．…（2分）
在平面ACC₁A₁内，当△A₁AD∽△ACM即可满足AM⊥A₁D，此时，AM⊥平面A₁BD．…（4分）
∴$\frac{CM}{AC}=\frac{AD}{{A{A_1}}}$，∴$\frac{CM}{2}=\frac{{\frac{3}{2}}}{3}$，∴CM=1，AM⊥平面A₁BD．…（6分）
解：（Ⅱ）方法一：
在（Ⅰ）的条件下，BD⊥平面ACC₁A₁，BD⊥AM，
设A₁D∩AM=N，则∠BND即为二面角B-AM-C的平面角．…（8分）Rt△ACM中，
∴$\frac{CM}{DN}=\frac{AM}{AD}$，∴$DN=\frac{{3\sqrt{5}}}{10}$．…（10分）
Rt△BDN中，$BD=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，$DN=\frac{{3\sqrt{5}}}{10}$，$tan∠BND=\frac{BD}{DN}=\frac{{\sqrt{15}}}{3}$，
二面角B-AM-C的正切值为$\frac{{\sqrt{15}}}{3}$．…（12分）
（Ⅱ）方法二：以B为原点，BC，BA，BB₁为x，y，z轴建立如图空间直角坐标系．
B（0，0，0），A（0，$\sqrt{3}$，0），C（1，0，0），M（1，0，1），D（$\frac{3}{4}，\frac{\sqrt{3}}{4}，0$）．
$\overrightarrow{MA}=（{-1\;\;，\;\;\sqrt{3}\;\;，\;\;-1}）$，$\overrightarrow{MB}=（{-1\;\;，\;\;0\;\;，\;\;-1}）$．…（8分）
在（Ⅰ）的条件下，BD⊥平面ACC₁A₁，∴BD⊥平面ACM，$\overrightarrow{BD}=（{\frac{3}{4}\;\;，\;\;\frac{{\sqrt{3}}}{4}\;\;，\;\;0}）$．
设n⊥平面ABM，n=（x，y，z），$\left\{\begin{array}{l}n⊥\overrightarrow{MA}\\ N⊥\overrightarrow{MB}\end{array}\right.$
即$\left\{\begin{array}{l}1-x+\sqrt{3}y-z=0\\ 1-x-z=0\end{array}\right.$，则n=（1，0，-1），…（10分）
设二面角B-AM-C的平面角为θ，$cosθ=\frac{{n•\overrightarrow{BD}}}{{|n|•|{\overrightarrow{BD}}|}}=\frac{{\sqrt{6}}}{4}$，
所以二面角B-AM-C的正切值为$\frac{{\sqrt{15}}}{3}$．…（12分）

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的正切值的求不地，是中档题，解题时要认真审题，注意空间维能力的培养．