Question

7．已知函数f（x）=x+$\frac{a}{x}$+3，x∈N^*，在x=5时取到最小值，则实数a的所有取值的集合为[20，30]．

Answer 1

分析 先求导，判断函数的单调性得到函数的最小值，由题意可得x取离$\sqrt{a}$最近的正整数使f（x）达到最小，得到，f（5）≤f（6），f（4）≥f（5），解得即可．

解答 解：∵f（x）=x+$\frac{a}{x}$+3，x∈N^*，
∴f′（x）=1-$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-a}{{x}^{2}}$，
当a≤0时，f′（x）≥0，函数f（x）为增函数，最小值为f（x）_min=f（1）=4+a，不满足题意，
当a＞0时，令f′（x）=0，解得x=$\sqrt{a}$，
当0＜x＜$\sqrt{a}$时，即f′（x）＜0，函数单调递减，
当x＞$\sqrt{a}$时，即f′（x）＞0，函数单调递增，
∴当x=$\sqrt{a}$时取最小值，
∵x∈N^*，
∴x取离$\sqrt{a}$最近的正整数使f（x）达到最小，
∵x=5时取到最小值，
∴5＜$\sqrt{a}$＜6，或4＜$\sqrt{a}$≤5
∴f（5）≤f（6）且f（4）≥f（5），
∴4+$\frac{a}{4}$+3≥5+$\frac{a}{5}$+3且5+$\frac{a}{5}$+3≤6+$\frac{a}{6}$+3
解得20≤a≤30
故答案为：[20，30]

点评 本题考查了导数和函数的单调性关系，以及参数的取值范围，属于中档题