Question

18．某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）在某一周期内的图象时，列表并填入部分数据，如表：
（1）请将上表数据补充完整，填写在答题卡相应的位置，并求f（x）的解析式；
（2）将函数f（x）的图象上每一点的纵坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$倍，横坐标不变，得到函数g（x）的图象．试求g（x）在区间[π，$\frac{5π}{2}$]上的最值．

ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x		2π			$\frac{13π}{2}$
f（x）	0	4		-4	0

Answer 1

分析 （1）根据表中数据求出A、T以及ω和φ的值，写出f（x）的解析式，再补充表中数据；
（2）根据函数图象变换写出g（x）的解析式，求出它在区间[π，$\frac{5π}{2}$]上的最值即可．

解答 解：（1）根据表中数据得，A=4，
$\frac{3}{4}$T=$\frac{13π}{2}$-2π=$\frac{9π}{2}$，
所以T=6π=$\frac{2π}{ω}$，
解得ω=$\frac{1}{3}$，
所以$\frac{1}{3}$×$\frac{π}{2}$+φ=0，
解得φ=-$\frac{π}{6}$；
所以$f（x）=4sin（\frac{1}{3}x-\frac{π}{6}）$，
补充表中数据为$\frac{π}{2}$，$\frac{7π}{2}$，5π和0；
（2）将函数f（x）的图象上每一点的纵坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$倍，横坐标不变，
得到函数g（x）的图象，
所以$g（x）=2sin（\frac{1}{3}x-\frac{π}{6}）$，
∵$π≤x≤\frac{5π}{2}$，
∴$\frac{π}{6}≤\frac{1}{3}x-\frac{π}{6}≤\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{1}{2}≤sin（\frac{1}{3}x-\frac{π}{6}）≤1$，
∴$1≤2sin（\frac{1}{3}x-\frac{π}{6}）≤2$，
∴g（x）_max=2，g（x）_min=1．

点评 本题考查了三角函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象与性质的应用问题，也考查了图象的变换问题，是基础题目．