Question

9．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（-x）=-f（x），则称f（x）为“局部奇函数”，若f（x）=4^x-m2^x+1+m²-5为定义域R上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围是1-$\sqrt{5}$＜m≤2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 f（x）=4^x-m2^x+1+m²-5是定义在r上的“局部奇函数”，列出方程，可求出实数m的取值范围．

解答 解：f（x）=4^x-m•2^x+1+m²-5，f（-x）+f（x）=0可化为
4^x+4^-x-2m（2^x+2^-x）+2m²-10=0
令t=2^x+2^-x，则t∈[2，+∞），4^x+4^-x=t²-2，
即 t²-2mt+2m²-12=0在[2，+∞）有解，
即可保证f（x）为“局部中心对称函数”
令g（t）=t²-2mt+2m²-12
 ①当g（2）≤0时，t²-2mt+2m²-12=0在[2，+∞）有解，
由g（2）≤0，即2m²-4m-8≤0，解得1-$\sqrt{5}$≤m≤1+$\sqrt{5}$；
 ②当g（2）＞0时，t²-2mt+2m²-12=0在[2，+∞）有解等价于
 $\left\{\begin{array}{l}{△=4{m}^{2}-4（2{m}^{2}-12）≥0}\\{g（2）＞0，m＞2}\end{array}\right.$   解得2＜m≤2$\sqrt{3}$，
综上，所求实数m的取值范围为1-$\sqrt{5}$＜m≤2$\sqrt{3}$．
故答案为：1-$\sqrt{5}$＜m≤2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，其中正确理解“局部奇函数”的概念是解答的关键．