Question

1．在圆x²+y²=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，线段PD中点为M，当点P在圆上运动时，点M到直线l：x-y+1=0距离最大值为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{10}+\sqrt{2}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{10}-\sqrt{2}}}{2}$
• C． $\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 设出M点的坐标，由M为线段PD的中点得到P的坐标，把P的坐标代入圆x²+y²=4求得线段PD的中点M的轨迹方程；
再利用参数法求出点M到直线l：x-y+1=0距离最大值．

解答 解：设点M（x，y），由题意D（x，0），P（x，y₁），
∵M为线段PD的中点，∴y₁+0=2y，y₁=2y；
又∵P（x，y₁）在圆x²+y²=4上，∴x₁²+y₁²=4，
∴x²+4y²=4，即$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
∴点M的轨迹为椭圆，
设x=2cosθ，y=sinθ，
则点M到直线l：x-y+1=0的距离为
d=$\frac{|2cosθ-sinθ+1|}{\sqrt{{1}^{2}{+（-1）}^{2}}}$=$\frac{|\sqrt{5}sin（θ+α）+1|}{\sqrt{2}}$≤$\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}$，其中tanα=-2；
所以d的最大值为$\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查了求点的轨迹方程以及点到直线距离的应用问题，是较难的题目．