Question

11．若实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{x+y-2＞0}\\{y-x-1＜0}\\{x≤1}\end{array}\right.$，设u=x+2y，v=2x+y，则$\frac{u}{v}$的最大值为（　　）

• A． 1
• B． $\frac{5}{4}$
• C． $\frac{7}{5}$
• D． 2

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用分式的性质转化为直线斜率，利用数形结合进行求解即可

解答 解：画出不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x+y-2＞0}\\{y-x-1＜0}\\{x≤1}\end{array}\right.$，所表示的可行域，
如图所示，

则目标函数$\frac{u}{v}$=$\frac{x+2y}{2x+y}$=$\frac{1+2•\frac{y}{x}}{2+\frac{y}{x}}$，
令t=$\frac{y}{x}$，则t表示可行域内点P（x，y）与原点的斜率的取值，
当取可行域内点A（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）时，t取得最大值，此时最大值为t=3；
当取可行域内点B（1，1）时，t取得最小值，此时最小值为t=1，
此时可得，
当t=3时，目标函数$\frac{u}{v}$有最大值，此时最大值为$\frac{1+2×3}{2+3}$=$\frac{7}{5}$；
故选C．

点评 本题主要考查线性规划的应用，根据分式的性质，转化为与斜率有关的问题是解决本题的关键．