Question

6．（理科做）如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，点D是AB的中点．
求证：
（1）AC⊥BC₁；
（2）AC₁∥平面B₁CD．
（3）若AC=BC=$\frac{1}{2}$CC₁，求直线CC₁与平面ABC₁所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1）由直三棱柱的性质可得CC₁⊥平面ABC，即CC₁⊥AC，又AC⊥BC，由线面垂直的判定可得AC⊥平面BCC₁B₁，则AC⊥BC₁；
（2）设BC₁与B₁C的交点为O，连结OD，可得OD∥AC₁，由线面平行的判定可得AC₁∥平面B₁CD；
（3）连结C₁D，由CC₁⊥平面ABC，得CC₁⊥AB，再由CD⊥AB，得AB⊥平面C₁CD，可知C₁D是C₁C在平面ABC₁ 上的射影，则∠CC₁D为直线CC₁与平面ABC₁ 所成的角．求解直角三角形得答案．

解答 （1）证明：在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，
∴CC₁⊥AC，又AC⊥BC，BC∩CC₁=C，
∴AC⊥平面BCC₁B₁，
∴AC⊥BC₁；
（2）设BC₁与B₁C的交点为O，连结OD，
∵BCC₁B₁为平行四边形，∴O为B₁C的中点，又D是AB的中点，
∴OD是三角形ABC₁ 的中位线，则OD∥AC₁，
又∵AC₁?平面B₁CD，OD?平面B₁CD，∴AC₁∥平面B₁CD；
（3）连结C₁D，∵CC₁⊥平面ABC，∴CC₁⊥AB，
又∵AC=BC，D为AB的中点，
∴CD⊥AB，则AB⊥平面C₁CD，
∴平面ABC₁⊥平面C₁CD，
∴C₁D是C₁C在平面ABC₁ 上的射影，则∠CC₁D为直线CC₁与平面ABC₁ 所成的角．
∵$CD=\frac{\sqrt{2}}{2}AC$，CC₁=2AC，∴$tan∠C{C}_{1}D=\frac{CD}{C{C}_{1}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$．
∴直线CC₁与平面ABC₁ 所成的角的正切值为$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查空间中的直线与直线、直线与平面的位置关系，考查了线面角的求法，是中档题．