Question

1．已知M（x₀，y₀）是双曲线C：$\frac{x^2}{2}$-y²=1上的一点，F₁，F₂是C上的两个焦点，若∠F₁MF₂为钝角，则x₀的取值范围是-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$＜x₀＜$\frac{2\sqrt{6}}{3}$且x₀≠$±\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 利用向量的数量积公式，结合双曲线的方程，即可求出x₀的取值范围．

解答 解：由题意，∵∠F₁MF₂为钝角，
∴$\overrightarrow{M{F}_{1}}•\overrightarrow{M{F}_{2}}$=（-$\sqrt{3}$-x₀，-y₀）•（$\sqrt{3}$-x₀，-y₀）=x₀²-3+y₀²=$\frac{3}{2}$x₀²-4＜0，且$\frac{3}{2}$x₀²-4≠-1
∴-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$＜x₀＜$\frac{2\sqrt{6}}{3}$且x₀≠$±\sqrt{2}$．
故答案为-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$＜x₀＜$\frac{2\sqrt{6}}{3}$且x₀≠$±\sqrt{2}$．

点评 本题考查向量的数量积公式、双曲线的方程，考查学生的计算能力，比较基础．