Question

10．已知幂函数f（x）=（2m-n）x${\;}^{-{m}^{2}+n+4}$（m，n∈Z）为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调递增函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）设g（x）=ae^x-m（x+2）+2a²-n，若g（x）能取遍（0，+∞）内的所有实数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得幂指数为偶数，且幂指数为正数，根据当2m-n=1时，幂指数为4，符合题意，可得幂函数的解析式．
（Ⅱ）由题意，g（x）=ae^x-（x+2）+2a²-1的最小值小于等于0．分类讨论，求出实数a的取值范围．

解答 解：因为幂函数f（x）=（2m-n）x${\;}^{-{m}^{2}+n+4}$（m，n∈Z）为偶函数，
且在区间（0，+∞）上是单调递增函数
∴$\left\{\begin{array}{l}{2m-n=1}\\{-{m}^{2}+n+4＞0}\end{array}\right.$，幂指数为偶数
∴m=1，n=1，
故解析式为y=x⁴，
（Ⅱ）由题意，g（x）=ae^x-（x+2）+2a²-1的最小值小于等于0．
g′（x）=ae^x-1，a≤0，g′（x）＜0，满足；
a＞0时，函数在（-∞，-lna）单调递减，（-lna，+∞）单调递增，
∴g_min（x）=2a²+1+lna-3≤0，∴a≤1，∴0＜a≤1．
综上所述a≤1．

点评 本题主要考查幂函数的性质，考查函数的单调性，考查恒成立问题，正确转化是关键，属于中档题．