Question

19．函数f（x）=e^x，g（x）=ln（x+m）+1，（e是自然对数的底数，e≈2.71828）．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的图象在点P（0，f（0））的切线l的方程；
（Ⅱ）若对任意x∈（-m，+∞），恒有f（x）≥g（x）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求导，根据导数的几何意义即可求出切线方程，
（Ⅱ）构造函数，根据导数和函数的最值的关系，即可求出m的取值范围．

解答 解（Ⅰ）f'（x）=e^x，f'（0）=1，即直线l斜率为k=1，f（0）=1，即点P（0，1）．
所以直线l的方程为y=x+1．
（Ⅱ）容易证明：e^x≥x+1恒成立．
设F（x）=e^x-x-1，则F'（x）=e^x-1，
在区间（-∞，1）上，F'（x）＜0，F（x）是减函数；
在区间（0，+∞）上，F'（x）＞0，F（x）是增函数．
故F（x）的最小值为F（0）=0，
即e^x≥x+1恒成立．
（i）当g（x）=ln（x+m）+1≤x+1恒成立时，即m≤e^x-x恒成立时，条件必然满足．
设G（x）=e^x-x，则G'（x）=e^x-1，在区间（-∞，1）上，G'（x）＜0，G（x）是减函数，
在区间（0，+∞）上，G'（x）＞0，G（x）是增函数，
即G（x）最小值为G（0）=1．
于是当m≤1时，条件满足．
（ii）当m＞1时，f（0）=1，g（0）=lnm+1＞1即f（0）＜g（0），条件不满足．
综上所述，m的取值范围为（-∞，1]．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查函数恒成立问题，导数的应用，是一道中档题．