Question

9．已知函数f（x）=（2-a）lnx+$\frac{1}{x}$+2ax．
（1）当a＜0时，讨论f（x）的单调性；
（2）若对任意的a∈（-3，-2），x₁，x₂∈[1，3]恒有（m+ln3）a-2ln3＞|f（x₁）-f（x₂）|成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求出极值点，通过两个极值点的大小，讨论函数的单调性即可．
（2）由（1）知当a∈（-3，-2）时，函数f（x）在区间[1，3]单调递减；求出x∈[1，3]时，f（x）的最值，问题等价于：对任意的a∈（-3，-2），恒有$（m+ln3）a-2ln3＞1+2a-（2-a）ln3-\frac{1}{3}-6a$成立，推出不等式求解即可．

解答 解：（1）$f'（x）=\frac{2-a}{x}-\frac{1}{x^2}+2a=\frac{（2x-1）（ax+1）}{x^2}$，
令f'（x）=0，得${x_1}=\frac{1}{2}$，${x_2}=-\frac{1}{a}$，
当a=-2时，f'（x）≤0，函数f（x）在定义域（0，+∞）内单调递减；
当-2＜a＜0时，在区间$（0，\frac{1}{2}）$，$（-\frac{1}{a}，+∞）$上f'（x）＜0，f（x）单调递减，
在区间$（\frac{1}{2}，-\frac{1}{a}）$上f'（x）＞0，f（x）单调递增；
当a＜-2时，在区间$（0，-\frac{1}{a}）$，$（\frac{1}{2}，+∞）$上f'（x）＜0，f（x）单调递减，
在区间$（-\frac{1}{a}，\frac{1}{2}）$上f'（x）＞0，f（x）单调递增．
（2）由（1）知当a∈（-3，-2）时，函数f（x）在区间[1，3]单调递减；
所以当x∈[1，3]时，f（x）_max=f（1）=1+2a，$f{（x）_{min}}=f（3）=（2-a）ln3+\frac{1}{3}+6a$．
问题等价于：对任意的a∈（-3，-2），恒有$（m+ln3）a-2ln3＞1+2a-（2-a）ln3-\frac{1}{3}-6a$成立，
即$am＞\frac{2}{3}-4a$，因为a＜0，所以$m＜{（\frac{2}{3a}-4）_{min}}$，
∴实数m的取值范围为$（-∞，-\frac{13}{3}]$．

点评 本题考查函数的导数的综合应用，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，考查分析问题解决问题的能力．